![[Escher impossible]](04index_files/impossible.jpg)
如果只選一張作品來代表 Escher，應該是 Waterfall (1961) 吧。
這幅版畫描繪一座荷蘭常見的水車，他嚴謹地應用了透視原理，
卻以逆向的邏輯推理突破了現實的透視，造就這一幅『正確但不可能』的圖畫。
在藝術領域，這種形式的創作稱為「錯視藝術」或「錯覺藝術」。
表現的重點放在我們的大腦因為對圖象的成見或概念，會自動整合作品，
不合理的地方不易被發現，
或者只會選擇某一個角度或視野所見的來觀看。
因此，在細看之後，如果發現了巧妙之處，就感到驚喜 [8]。
邏輯常被視為數學的一部分，不見得如此，但是數學家特別重視邏輯倒是個不爭的事實。 利用透視的「反」技巧與邏輯的「反」推理，Escher 創造了他那獨一無二的藝術領域， 不論他的生前還是死後，都受到數學界的推崇和繼續的討論。 在此，作者想要推薦艾雪 (M. C. Escher) 的三類獨特創作給讀者們欣賞： 運用邏輯來玩弄透視所產生的「不可能圖像」(image impossible)、 圖像漸變 (morphing) 的平面藝術、 和利用數學映射而造成的圖像變形與特殊週期性。
Maurits Cornelis Escher 生於 1898 年 6 月 17 日， 卒於 1972 年 3 月 27 日---剛好就在我過十歲生日的那一天； 除了青年時期的 19 年壯遊以外，他的一生都在荷蘭。 Escher 通常被認為是一位藝術家或畫家， 而事實上他的第一次個人畫展，是數學家為他舉辦的： 1954 年在阿姆斯特丹舉行的「國際數學家大會」(ICM: International Congress of Mathematicians)； 那時候的主要賓客也都是數學家。 直到現在，還是有數學界的人把他歸類為數學家， 也繼續有人在數學界的學術研討會上討論他的創作。 至少，在網路上找到的最完整的 Escher 傳記，也是數學界為他寫的 [1]， 而且將他歸類為數學家。 我想，這樣說或許不至於太過分：如果不是數學界發現了他、推崇他、宣揚他， 很可能他那些獨特而難以理解的創作，就像梵谷一樣必須等到過世之後才會被人肯定。
就學歷而言，Escher 連一張正式的大專文憑都沒有， 而且他的中學成績很差，幾乎所有科目都當掉了，所以不能讀大學。 他的父親是一位土木工程師，把他送去建築與室內設計專科學校， 希望他學習成為一個建築師。他在第一所學校的功課也是差不多能當的都當了， 轉到第二所學校之後遇到恩師，發現他的繪圖天份， 建議他改學藝術而不是建築。他只考慮了一個星期就決定通知父親說他要改行了， 從此跟著老師學木刻和版畫。
既然如此，他為什麼受數學界推崇？ 因為他憑著直覺重新發現了數學的某些結構， 然後 (1954 年的 ICM 個展之後) 得以結識當代最優秀的幾位數學家， 從他們那裡汲取養分，轉換成版畫藝術。 他真的讀過一些頂尖數學家的最新論文， 雖然他自稱看不懂，但是他其實已經領悟其中的微妙結構， 並且將其精髓用藝術形式呈現出來了。 雖然他的呈現方式不是方程式，也不是定理和證明，而是圖畫。 但是有數學家認為，他的作品在精神和意義上『就是數學沒錯』。
如果只選一張作品來代表 Escher，應該是 Waterfall (1961) 吧。
這幅版畫描繪一座荷蘭常見的水車，他嚴謹地應用了透視原理，
卻以逆向的邏輯推理突破了現實的透視，造就這一幅『正確但不可能』的圖畫。
在藝術領域，這種形式的創作稱為「錯視藝術」或「錯覺藝術」。
表現的重點放在我們的大腦因為對圖象的成見或概念，會自動整合作品，
不合理的地方不易被發現，
或者只會選擇某一個角度或視野所見的來觀看。
因此，在細看之後，如果發現了巧妙之處，就感到驚喜 [8]。
![[Penrose triangle]](04index_files/penrose_triangle.jpg)
與 Waterfall 同類的創作還有幾幅，我挑兩幅給讀者欣賞：
1953 年的 Relativity (相對論)，或許是畫家對於相對論的詮釋，
我倒覺得像是一個空間裡面同時居住了四種不同「世界」的居民，
大家相安無事；
1960 年的 Ascending and Descending，與 Waterfall 非常類似，
幾乎就是 Waterfall 的暖身之作。
正是相對論這一幅構圖，在 1954 年的 ICM 會議上啟發了當時是研究生、
後來成為大師級理論物理學家的 Penrose 爵士
(1931 年生)，發明了「不可能的三角形」(Penrose triangle)，如右圖。
而後者又轉過來激發了 Escher 創造了包括 Waterfall 在內的「不可能圖像」。
數學家是那麼地喜愛 Escher 的這一系列創作， 他利用透視「邏輯」創造出視覺上可喜的矛盾藝術， 就如同數學家利用邏輯矛盾創造出理性上可喜的定理 （例如『二的平方根不是有理數』）。 以至於 1981 年在奧地利 Innsbruck 舉行的四年一度國際數學家大會上， Wurnitsch 仿 Escher 的想法 (也可以說是接續 Penrose triangle)， 設計了一個簡潔俐落的 Cubic Impossible 當作當屆數學大會的標誌 (logo)。
![[Escher gallery]](04index_files/gallery.jpg)
Escher 在「數學」上達到頂峰的作品應屬
Print Gallery (畫廊)，完成於 1956 年。
這一幅版畫有兩方面的意義。
在內容方面，這是他為自己舉辦的「回顧展」，
畫廊內的畫作，除了「這一幅」以外，全是他自己的舊作；
而「這一幅」也在畫廊裡，就是圖中年輕人正在看的那一幅
(我感覺那個年輕人是 Escher 想像自己年輕時候的自畫像)。
在數學方面，他希望這幅畫具有「尺度的週期性」：
當畫面逐漸放大到原本的尺度，則一切重複。
我們經常有機會經歷尺度的週期性。 只要站在互相平行的兩面鏡子中間，就會看到無窮循環的尺度週期性； 例如，當電梯的兩側都是鏡面，我們就會看到無窮循環的影像。 這種具有尺度週期性的圖畫，稱為 Droste 特效 (Droste Effect)。 所以，生活於 20 世紀的 Escher 和其他藝術家， 早就熟悉了這種週期性，也曾經有別人用它來創作視覺藝術品 [3]。 Escher 並不滿足於單純的尺度週期性，他為這幅作品增加了一個「twist」， 就好像數學老師經常喜歡在考題中增加一些「twist」那樣。 Escher 設想『畫廊』這幅畫要一邊旋轉、一邊放大， 使得畫面在旋轉了「一圈」之後，恰好重複原來那一幅畫。
但是，Escher 畢竟全憑直覺，而且藝術家志在創作而不在精確， 所以他 (幾乎) 正確地繪製了這幅畫的第一段「週期」， 就好像正弦函數 (sinx) 曲線在 0 至 2*pi 之間的那一段， 而將其後無窮段的週期留在中央的空白，簽名結案。 至於 Escher 為何想到「扭曲的空間、旋轉的尺度週期性」這樣的主意？ 據他自己說，是被愛因斯坦的『彎曲宇宙』理論所啟發。 第一流的藝術家也欣賞科學的創意， 並賦予自己的詮釋；別忘了他也有一幅名為『相對論』的版畫。
直到大約 2001 年，在柏克萊數學系任教的另一位荷蘭人 Lenstra, Jr. 教授重新開啟了 Escher 的計畫。 Lenstra 發現 Escher 想要完成的變形效果， 可以經由一個複變函數達到。 他先將 Escher 的原版掃瞄成數位檔案， 然後用他設計的複變函數之反函數， 將版畫先「還原」成正常的透視效果。 還原之後，可發現 Escher 遺漏或畫不準確之處； 於是把這幅畫送回荷蘭，請那邊的藝術家補完這幅畫。 然後將補完的畫再度數位化，這就完成了「直線的」尺度週期性圖畫。 將這幅圖做上述複變函數的映射之後，就是 Escher 原來想要完成的作品了。
關於這幅『畫廊』的故事細節，請看參考資料 [4, 5, 6, 7]。
![[Escher morphing]](04index_files/morphing.jpg)
Escher 令數學家驚豔的第二類作品是連續漸變。
如今在電腦動畫時代，這種技術稱為 Morphing，已經有軟體可以代勞大部分的技術細節，
而數學界在更早以前便在拓樸 (或者代數拓樸) 課題中思索這種現象。
Escher 沒有看過 morphing 動畫，也沒有學過拓樸學的 homotopy，
憑著他自己的想像力和創造力而成就了這些作品。
最具有代表性的漸變圖，當推 Day and Night (1938)，
這幅作品的圖案左右對稱，顏色相反，同時具備了奇對稱和偶對稱的雙重特質。
類似的作品還有同一年創作的 Sky and Water，
從天空到海洋，從飛鳥到游魚，這一次是採取意境上的對稱性。
Escher 深愛此道，一生各時期都有這類創作，
最晚的一幅 Metamorphosis III 作於 1967 年 (69 歲)，
共有九幅，最左邊和最右邊可以接上，
所以應該圍成一圈來展示，觀賞者可以繞著這幅畫一直看而無始無終。
就像三角函數一樣，它具有橫向的週期性。
![[Escher Flat Up]](04index_files/drawing.jpg)
也許 Escher 從平面漸變的想法，進一步發展出平面與立體之間的漸變。
其實，不論是平面還是立體圖畫，都是畫在平面上的。
所謂的「立體」其實是「透視」的效果。
而繪畫者應該人人熟練透視的技巧和邏輯。
Escher 有一幅「習作」，在黑色背景上以白色線條，而且僅有線條，
呈現一個扁平的圓、壓扁一半的球、和一個球。
從這幅技術性的演示，我們具體看到透視的效果。
看過這幅透視魔術之後，就不難理解 Escher 的立體--平面漸變創作了。
在立體--平面漸變系列中，我最喜歡 Reptiles (爬蟲, 1943)。 平面的爬蟲像一幅拼圖（後來它真的被用來製造拼圖遊戲）， 而書桌上的裝飾品，包括一個正十二面體。 那爬蟲從平面的地上爬出來，歷經幼年、少年、進取向上的青年、意氣風發的成年， 然後開始衰老、頹散。最後，塵歸塵、土歸土，它又回到了平面。
![[Escher plane division]](04index_files/plane.jpg)
或許 Escher 對於平面漸變的設計興趣是有跡可循的。
早在 1922 年，他離開家鄉到義大利去流浪 (從翡冷翠開始)，
在那裡到處遊覽、飲酒、作畫，沒多久便娶了個義大利妻子，定居下來，
一直在羅馬居住到 37 歲。
他欣賞中古教堂的拼磚設計，感到極高的興趣，就開始嘗試這種創作，
一生樂此不疲，總共作了 60 多幅，其中不乏遊戲之作。
這類作品的第一幅 Eight Heads 作於他剛抵達羅馬的 1922 年。
所謂拼磚設計就是要在正方形上畫出同時具有上下週期性和左右週期性， 也就是『二維週期性』的圖形， 所以拼成地磚或壁磚的時候，才能成為連續變化的圖案。 這種設計又稱為 Regular Plane Division。 這當然是一種很實用的工藝， 今天我們在 Windows 的桌面上貼桌布，或者在網頁的背景貼背景圖片， 都要講究二維的週期性，否則就不好看。
![[Escher St. Peters]](04index_files/view.jpg)
1935 年，也就是他離開羅馬的那一年，或許是為了留念，
他創作了一幅 St. Peters (聖彼得大教堂)；
那就是梵諦岡的大天主堂。畫家從十字架正上方的圓頂內側維修廊道往下看，
詳細而精確地以木刻版畫複製了當時的樣貌。
在這一幅圖上，我們見識到地面的拼磚。
當我有機會站在同一地點往下看，發現那畫面的寬度、光影、景深和比例的正確性，
不是我的照相機能夠複製的。
沒有一支那麼廣角的鏡頭，可以像畫家那樣保持曲率和比例的正確性，
同時捕捉如此清晰的景深和如此強烈的對比。
在 Escher 的早期「寫生」作品中，我也很喜歡他在山城 Scanno 巷道中的一瞥。這幅畫刻好的半個世紀之後，有好事者找到同一地點， 拍攝了一張黑白照片作為比對。 發現除了新增幾條電線、變換幾台盆栽以外， 五十年前後的景象與氣氛是完全一樣的， 這個巷道彷彿被 Escher 凝固在時間的河裡。
![[Escher symmetry]](04index_files/symm.jpg)
但是藝術家當然不只是設計地磚而已。
Escher 推廣了拼磚的概念，添加了對稱性或逆對稱性，
做出各種變形，例如 Motif Reptile (1941) 和 Devils (1950)。
從這些作品中，我們可以察覺 Escher 設計 morphing 圖案的概念和技術來源了。
這兩幅例子中的爬蟲和妖怪，經常出現在 Escher 的圖案中，
他似乎特別喜歡爬蟲類。
當 Escher 完成 Motif Repitle，他端詳著自己創造的平板蜥蜴， 忽然有個感覺困擾著他，覺得那一幅圖是多麼地虛假， 就好像他親手射殺了他的創造物。 於是，Escher 著手設計讓那扁平的蜥蜴「活」起來的版畫。 那就是前面看過的 Reptiles (1943)。
![[Escher Circle of Limit]](04index_files/limit.jpg)
這麼熱衷地將數學入畫的 Escher，當然不會錯過著名的莫比烏斯帶 (Möbius strip)。
他刻畫了八隻螞蟻在這無始無終的軌道上行軍。
雖然這幅畫有著最明顯的數學特徵，卻是我認為 Escher 最沒創意的一幅作品。
總是那些比較不明顯的數學結構，才顯示出趣味。
例如由黑蝙蝠和白天使交錯環繞而成的極限圓盤，
這幅視覺上平坦的圓盤圖像其實是在半個球面上，
由球心投影這些黑魔怪和白天使到平面上，
將會在平面上鋪滿同樣大小的、一環一環的黑魔怪和白天使。
這一幅圖呈現「天圓地方」而「陰陽交替」的宇宙意象。
這一系列的 Circle Limit 作品，緣於 1954 年在 ICM 會議中向幾何學大師
Coxeter (1907--2003) 請教的結果。
描繪球面也該算是畫家的基本技巧吧。 Escher 早就能夠繪製球面，例如在他離開羅馬的那一年 (1935) 所做的 Hand with Reflecting Sphere (手與反射的球)。 球裡的人像是他自己 (37 歲)；雖然 Eshcer 不像梵谷那麼愛畫自己， 他的確也為自己留下了影像。 離開羅馬之後，Escher 暫時躲避戰亂於瑞士和比利時， 最後在 1941 年回到荷蘭。 我們可以理解，在戰爭期間，大多數的藝術家都沒有創作。
![[Escher Living in Woods]](04index_files/puddle.jpg)
藝術家總是喜歡創造「美」的作品，不一定要爭奇鬥豔，
更未必要有數學結構。住在荷蘭鄉間的 Escher，
也有些作品，沒有特殊的意義或目的，
單純就是想要表達藝術家對於自然界簡單的美所感受的喜悅和尊敬。
我最喜歡的，是 1952 年做的 Puddle (小水潭)。
一個下午，藝術家到村裡沽酒。
正好下了一場午後雷陣雨，他乾脆坐在酒館裡喝一杯。
雨停之後，提著酒壺搖搖晃晃地沿著泥濘小路回家。
濕涼香甜的空氣鑽進鼻孔，針葉上新沾的水珠點滴滑落，
兩位鄉民迎面而來打了招呼，零星幾輛腳踏車碾著軟泥擦身而過。
Escher 看著地上的水潭、鞋印和胎痕，潭水把頭頂上的松針捕捉下來，
還順手偷摘了剛昇起的滿月。
多麼令人嚮往的生活中的一個尋常的午後。
![[Works by Others]](04index_files/erik.jpg)
最後，讀者一定相信，Escher 的創意必有追隨者，
而技藝的磨練與技術的更新，很可能產生同樣精湛的作品。
所謂「經典」就是如此，每當我們認識一項經典，
就掌握了某種範圍的思想泉源。此後，只要我們留意，就會發現從經典引伸而來的創意，
一再地以各種形式重複出現在其他的作品之中。